Классический метод расчёта переходных процессов

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Данный метод обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей (расчет сложных цепей упрощается операторным методом).

Методика

Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом:

  1. Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.
  2. Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока [math]\displaystyle{ i }[/math] или напряжения [math]\displaystyle{ u }[/math]. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.
  3. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.
  4. Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Пример расчёта простейшего переходного процесса классическим методом

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

[math]\displaystyle{ U = iR + L\frac{di}{dt}, }[/math]

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной [math]\displaystyle{ i=ab }[/math] и приводим уравнение к виду:

[math]\displaystyle{ U = Rab + L(a'b+ab'); \qquad U = a(Rb + Lb')+La'b. }[/math]

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

[math]\displaystyle{ Rb + Lb'=0. }[/math]

Разделяем переменные:

[math]\displaystyle{ \frac{b'}{b} = -\frac{R}{L}; \qquad \ln b = -\frac{R}{L}t; \qquad b = e^{-\frac{R}{L}t}. }[/math]

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

[math]\displaystyle{ U = La'e^{-\frac{R}{L}t}; \qquad a'=\frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}; }[/math]

Интегрируя, получаем

[math]\displaystyle{ a=\frac{L}{R}\cdot \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{L}+C = \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C; \qquad }[/math]

Получаем выражение для тока

[math]\displaystyle{ i=ab= \left( \frac{Ue^{\frac{R}{L}t}}{R}+C \right) \cdot e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{U}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t}; }[/math]

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

[math]\displaystyle{ i(0)=0; \qquad \frac{U}{R}+C=0;\qquad C = -\frac{U}{R}. }[/math]

Окончательно получаем

[math]\displaystyle{ i= \frac{U}{R} \left( 1-e^{-\frac{R}{L}t} \right). }[/math]

См. также

Литература

  • Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Классический_метод_расчёта_переходных_процессов&oldid=5807866